情報教育システムにはv3.3.5のProcessingが既にインストールされてい る。この実習ではこれを利用して頂く。
もし自宅のＰＣ等で使用したい場合は、 オリジナルサイトからダ ウンロードして使う事が可能である。但し、オリジナルサイトでは最新 のv3.5.3がある。バージョンが異なると動作や使い方が変わることがあ るので、注意が必要である。皆さんが各自でより進んだ内容を勉強する 事は大変よいことであるが、試験、又はレポートで使用するバージョン は公平性を保つため、情報教育システムと同じバージョンとする。
スタートボタンから「Devel」→「processing」を選択して Processing を起動する。
次に以下のプログラムを入力して実行してみよ。 コピー＆ペーストは使用しないこと。
size(800,600)
for i in range(350):
print("X="+str(i*2)+" Y="+str(i))
point(i*2,i)
size 文で、描画する範囲を横８００ピクセル、縦６００ピクセルに指定している。
i を０から３４９まで、１つづ増やしながら、 Ｘ座標はｉの２倍、Ｙ座標はｉの位置に、点を描画している。 Ｘ，Ｙの値は数値でも出力している。
点が小さくて見にくい場合は、point の代わりに、ellipse を使うと見やすくなる。
ellipse(i*2, i, 1, 1)
ellipse は楕円を描画する関数である。半径の小さな楕円を描く事で、大きな点を描画している。
以下の事をやってみよ。
尚、Processingで使用できる関数等の説明が
以下のプログラムを入力して実行してみよ。コピー＆ペーストは使用しないこと。
def setup():
size(600,600)
print("width="+str(width)+" height="+str(height))
frameRate(30)
line(sx(-100),sy(0),sx(+100),sy(0))
line(sx(0),sy(-100),sx(0),sy(100))
x1=-100.0
y1=-100.0
x2=+100.0
y2=+100.0
def sx(x):
global x1
global x2
return width*(x-x1)/(x2-x1)
def sy(y):
global y1
global y2
return height*(y2-y)/(y2-y1)
x=0.0
def draw():
global x
y=0.01*x*x
print("X="+str(x)+" Y="+str(y))
point(sx(x),sy(y)) # elipse(sx(x),sy(y),1,1)
x=x+1.0
if x>100.0:
noLoop()
１３～１７行は、座標変換のお膳立てをしている。
size 文で宣言された６００×６００ピクセルのスクリーンは、いわばＸが１～６００、Ｙが１～６００の
座標を持っていると言える。但し、Ｙは下が大きい事に留意せよ。
これだと我々が自由に座標系を使えない。そこで、計算で使用する座標系からスクリーンに表示する座標系への
変換を考える。このプログラムでは計算で使用するＸは、－１００．０から＋１００．０まで、
Ｙも同じ範囲とし、Ｙ軸は上が大きくなるように方向を逆転させる、一次変換を行う関数を定義している。
この関数はＸ，Ｙ毎に１つづつ定義されている。 計算に使用する座標系は９～１０行目で定義されている。 変換に必要なスクリーンのピクセル数は、size 文の実行後に、自動的に、width, height という変数に代入されている。
この関数は、下から４行目の point 関数で使用されている。 この様にすると、point関数が計算座標系のＸ、Ｙを引数に持っているかのごとく使える。
プログラムでは、２次関数を計算、描画している。
Ｘを０から１づつ増やし、１００を超えたらループを終了している。 Ｘの初期値、終了条件、増分、関数形等を変更して、色々試してみよ。
setup関数はプログラムの最初に１度だけ実行される。
draw関数は、何もしなければ、自動的に無限回、実行される。 繰り返し計算し、その結果を描画する場合には、draw関数の中に、１回分の描画するプログラムを書けば、 それを繰り返してくれる。但し、パラメータの更新や、終了条件の判断は自分で書く必要がある。
関数形を変えて、異なるグラフを描け。
初期値、終わり値を変えてみよ。
スクリーンの大きさを変えてみよ。また、計算に使う座標系も変えてみよ。
draw関数はsetup関数の中でframeRate関数で設定された頻度で繰り返される。 このプログラムでは３回／秒としてある。この数値を変えてみよ。
以下のプログラムを入力して実行してみよ。 これ以降、コピー＆ペーストを使用してもよいが、 プログラムの中身をしっかりと 読んで、理解する事。
def setup():
size(600, 600)
#frameRate(3)
line(sx(-1000),sy(0),sx(+1000),sy(0))
line(sx(0),sy(-1000),sx(0),sy(+1000))
x1=-1.0
y1=-100.0
x2=+10.0
y2=+10.0
def sx(x):
global x1
global x2
return width*(x-x1)/(x2-x1)
def sy(y):
global y1
global y2
return height*(y2-y)/(y2-y1)
m=1 #weight
x0=0.0 #initial position of x
y0=0.0 #initial position of y
vx0=10.0 #initial velocity of x
vy0=10.0 #initial velocity of y
dt=0.0050
x=x0
y=y0
vx=vx0
vy=vy0
t=0.0
i=0
g=-9.8
def draw():
strokeWeight(3)
global g
global x
global y
global vx
global vy
global t
global i
# point(sx(t),sy(vx))
# point(sx(t),sy(vy))
# point(sx(t),sy(x))
point(sx(t),sy(y))
# point(sx(x),sy(y))
print("vx="+str(vx)+" vy="+str(vy)+" x="+str(x)+" y="+str(y)+" t="+str(t))
t=t+dt
vx=vx
vy=vy+g*dt
x=x+vx*dt
y=y+vy*dt
i=i+1
if i>2000:
noLoop()
このプログラムは、質点の放物運動を数値計算で解いている。
物理学で言う、数値計算で問題が「解けた」とは、
重力加速度は、－９．８ｍ／ｓ／ｓ（下方へなので符号は負）とし、 質点を座標（０ｍ，０ｍ）から初速度（１０ｍ／ｓ、１０ｍ／ｓ）で飛ばした時の運動を追跡している。
時間の刻みは０．０１秒とし、ある時刻から次の時刻の速度と座標は以下のように求めている。
Vx ← Vx
Vy ← Vy + g・Δt
X ← X + Vx・Δt
Y ← Y + Vy・Δt
これらの式は、速度と加速度の定義から分かると思う。
Vx(t) = ( X(t+Δt) - X(t) ) / Δt （Δt→０）
Ax(t) = ( Vx(t+Δt) - Vx(t) ) / Δt （Δt→０）
この様に１次の極限での近似を用いて数値積分する方法を、オイラー法という。
プログラムの最後の方に、Ｘ軸とＹ軸に何を描画するかが、何行かに渡り書いてあり、 １つを除きコメントアウトされている。これらをそれぞれ描画し、計算の結果を確認せよ。 初速度を変えて試してみよ。
このように、物理現象をシミュレーションする場合には、物理法則に関わる部分には一切修正を加えず、 初期値等の条件を変更する事で、様々な物理現象を再現できる。
Δtは０．０１秒で計算したが、これを０．０２秒に粗くしてみよ。 グラフでは分からない程度の差しかでないので、出力された数値を比較して、計算誤差が変化する事を確認せよ。
#（シャープ）は、コメント機能である。この記号から行末までは、コメントとなり、プログラムの実行に何の影響も与えない。 また、''' コメント ''' という構造を使用すれば、複数行にまたがったコメントも作成できる。
以下のプログラムを入力して実行してみよ。 これ以降、コピー＆ペーストを使用してもよいが、 プログラムの中身をしっかりと 読んで、理解する事。
def setup():
size(600, 600)
frameRate(1000)
colorMode(RGB)
background(0,0,0)
stroke(255,0,0)
fill(255,0,0)
ellipse(sx(0),sy(0),5,5)
stroke(0,255,0)
fill(0,255,0)
x1=-1.6e11
y1=-1.6e11
x2=+1.6e11
y2=+1.6e11
def sx(x):
global x1
global x2
return width*(x-x1)/(x2-x1)
def sy(y):
global y1
global y2
return height*(y2-y)/(y2-y1)
t=0.0
dt=80000.0
x=1.496e11
y=0.0
vx=0.0
vy=2.979e4
G=6.67384e-11
Ms=1.989e30
i=0
def draw():
global x
global y
global t
global i
global vx
global vy
global G
global Ms
print("vx="+str(vx)+" vy="+str(vy)+" x="+str(x)+" y="+str(y)+" t="+str(t))
point(sx(x),sy(y))
t=t+dt
r3=(x**2+y**2)**1.5
vx=vx-G*Ms*dt*x/r3
vy=vy-G*Ms*dt*y/r3
x=x+vx*dt
y=y+vy*dt
i=i+1
if i>10000:
noLoop()
このプログラムは、太陽の周りを回る地球の動きをシミュレーションしている。
最初の方で、色を指定している。
初期条件として、太陽と地球の距離、地球の速度は、現実的な値を入れてあるが、 この場合、綺麗に円軌道が再現できる。
初速度を変えると楕円軌道になる筈なので、やってみよ。
初速(vy=2.979e4)を約半分（1.5e4）にすると楕円軌道がだんだんずれていってしまう。 これは計算誤差が蓄積するからである。ｄｔの値を小さくすると計算誤差が減り、 より正しい結果を得られる事を確かめよ。
ｄｔの値を小さくした場合は、frameRate で大きな値を指定すると速く計算する。 指定しなかった時の値は６０である。
これで第１１回 対面授業は終わりです。お疲れ様でした。第１２回の E-leaning は第１３回対面授業までに終わらせてください。