クレブシュ-ゴルダン係数

• ROOT でクレブシュ-ゴルダン係数を計算する場合、 3j 記号を用いて以下のように計算する。

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  • 参考: NIST Digital Library of Mathematical Functions - 3j,6j,9j Symbols - §34.1 Special Notation

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• クレブシュ-ゴルダン係数は以下のようにいろいろな書き方がある。

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• 2行目の書き方は、Particle Data Group (PDG) の Clebsch-Gordan Coefficients の pdf で採用されている書き方。 最後の C を用いた書き方は浜本さんがよく使う書き方である (例えば、PRC69(2004)041306(R), PRC81(2010)021304)。

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計算

• 例えば を計算するマクロ(calc_Clebsch_Gordan.C) は以下のようになる。

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  •    1 #include "Math/SpecFunc.h"
       2 #include <iostream>
       3 
       4 Double_t Clebsch_Gordan(Int_t two_ja, Int_t two_jb, Int_t two_jc,
       5                         Int_t two_ma, Int_t two_mb, Int_t two_mc ) {
       6   return pow(-1,(two_ja-two_jb+two_mc)/2)*sqrt(two_jc+1)
       7     *ROOT::Math::wigner_3j(two_ja, two_jb,  two_jc,
       8                            two_ma, two_mb, -two_mc);
       9 }
      10 
      11 void calc_Clebsch_Gordan() {
      12   Int_t two_j1 = 3;
      13   Int_t two_j2 = 5;
      14   Int_t two_j3 = 4;
      15   Int_t two_m1 = 1;
      16   Int_t two_m2 = -1;
      17   Int_t two_m3 = 0;
      18   std::cout << "C("
      19             << two_j1/2. << ", " << two_j2/2. << ", " << two_j3/2. << "; "
      20             << two_m1/2. << ", " << two_m2/2. << ", " << two_m3/2. << ") = "
      21             << Clebsch_Gordan(two_j1,two_j2,two_j3,two_m1,two_m2,two_m3) << std::endl;
      22 }
    

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  • MathMore ライブラリの ROOT::Math::wigner_3j 関数を用いている。この関数の引数は普通の 3j 記号の変数を2倍したものを用いる。実行方法は以下の通り。マクロの実行前に MathMore ライブラリをロードする。 MathMore ライブラリは前もってインストールしておく必要がある(参考: ROOT/MathMore)。

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  • $ root
    root [] gSystem->Load("libMathMore")
    (int)1
    root [] .x calc_Clebsch_Gordan.C
    C(1.5, 2.5, 2; 0.5, -0.5, 0) = -0.267261