Dead time

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Dead time について

参考1 : 仁科センター計算機環境 > RIBFDAQ > RIBFDAQの作法的なこと (pdf)
参考2 : 西村太樹さんのホームページ - dead time caluculation
Dead time の定義
- ある 1 つのイベントがアクセプトされたとき、そのイベント発生直後に detector や DAQ が次のイベントを受け付けることができない時間を表す。単位は second 。下記の $\tau$ がこれに相当する。馬場さんのページでは、DAQ に対するこの dead time $\tau$ を transaction time と呼び、測定時間に対する dead time $\tau$ の総和(の割合)を "dead time" と呼んでいるようだ。しかし、以下では 1 イベントに対して生じる不感時間を dead time $\tau$ として書いてしまったので、それに従う。
Live time の定義
- Live time の本来の定義は、測定時間 (sec) の内の dead time (sec) 以外の時間であると思うが、これでは使い勝手が悪い。ここでは、dead time (sec) 以外の時間が測定時間 (sec) に占める割合を live time と呼ぶ。即ち、測定時間内に、もう 1 イベントを追加で発生させたとき、そのイベントがアクセプトされる確率が live time と言うこともできる。単位は無次元、または %。

Live time とアクセプトされるイベント数(の割合)の関係

"Live time" と "アクセプトされるイベント数の割合" $\frac{N^\prime}{N}$ は等しい:
- Live time (%) = $\frac{N^\prime}{N} \times 100$
- : Total event rate (sec^-1)
- $N^\prime$ : Accepted event rate (sec^-1).
導出
- $\frac{N^\prime}{N}=f(N)$ と置くと、 $N^\prime=Nf(N)$ と変形できる（例えば、DAQ の dead time を考える場合（下記参照）、 $f(N) = \frac{1}{1+N\tau}$ となる）。すなわち、個のイベントが来たとき、アクセプトされるイベント数はとなる。よって、はある一つのイベントがアクセプトされる確率を表す。一方、ある一つのイベントがアクセプトされる確率は、live time に等しくなる (上述の "Live time の定義"の項目参照)。（正確には、注目するある一つのイベントを抜いて考えた時の live time と、そのイベントがアクセプトされる確率が等しくなる。しかし、測定時間が十分に長い場合、一つのイベントを抜いて考えた時の live time と抜かないときの live time はほぼ等しくなる（はず）。）よって、live time = $f(N)=\frac{N^\prime}{N}$ 。

Detector と DAQ の dead time

Detector (イオンチェンバー、シンチレータなどの検出器) の dead time と DAQ (data acquisition system、データ収集系) の dead time は性質が異なるため、分けて考えなければならない。下図のように、detector の dead time はアクセプトされないイベントに対しても発生するのに対し、DAQ の dead time はアクセプトされたイベントに対してのみ発生する。
これより、全イベントレート (sec^-1) が無限大の場合、dead time を $\tau$ (sec) とすると、アクセプトされるイベントレートは detector と DAQ に対して以下のようになる。
- Detector の accepted event rate : 0 に収束 ( detector が鳴りっぱなしで、アクセプトされるイベントなし)
- DAQ の accepted event rate : $\frac{1}{\tau}$ に収束 ( DAQ の dead time が終わった瞬間に、次のイベントがアクセプトされる)

Detector の live time

Live time : $\frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$
- : Total event rate (sec^-1)
- $N^\prime$ : Accepted event rate (sec^-1)
- $\tau$ : Transaction time (Dead time) (sec)
導出
- ある時間の間に 1 イベントが来たとき、時間に対する dead time ( $\tau$ ) と dead time 以外の時間 ( $T-\tau$ ) の割合はそれぞれ $\frac{\tau}{T}$ , $1-\frac{\tau}{T}$ （下図参照）。ある時間の間に 2 イベントが来たとき、時間に対する dead time 以外の時間の割合の平均は、1 イベントの場合の割合 $1-\frac{\tau}{T}$ に、 $1-\frac{\tau}{T}$ を掛ればよい（下図参照）ので、 $\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^2$ 。Total event rate がのとき、ある時間の間に来るイベントの数は。このとき、時間に対する dead time 以外の時間の割合の平均は $\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT}$ (下図参照)。
- Total event rate がのとき、ある一つのイベントに注目する。そのイベントが他の個のイベントの dead time 中に発生しない確率は、個のイベントの dead time 以外の時間の割合を考えて、 $\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$ 。すなわち、ある１つのイベントがアクセプトされる確率は $\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$ 。すべてのイベントはランダムに発生するので、すべてのイベントに対して同じことが言える。よって、ある時間の間にアクセプトされるイベント数 $N^\prime T$ は $NT\left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$ となる。これより、ある時間の間にアクセプトされるイベント数の割合 $\frac{N^\prime}{N}$ は $\frac{N^\prime}{N} = \left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$ となる。 $T \rightarrow \infty$ とすれば、求める割合 $\frac{N^\prime}{N}$ が導出できる。
- $\frac{N^\prime}{N} = \lim_{T \to \infty} \left(1-\frac{\tau}{T}\right)^{NT-1}$
- $e^x= \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ より、
- $\frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$ .

DAQ の live time

Live time : $\frac{N^\prime}{N}=\frac{1}{1+N\tau}$
- : Total event rate (sec^-1)
- $N^\prime$ : Accepted event rate (sec^-1)
- $\tau$ : Transaction time (Dead time) (sec)
導出
- ある一つのアクセプトされたイベントを考えたとき、そのイベントの dead time ( $\tau$ ) 中に来るアクセプトされないイベントの数の平均は $N\tau$ （下図参照）。これより、 ${1+N\tau}$ イベント中、平均 1 イベントがアクセプトされることがわかる。よって、アクセプトされるイベントの割合 (= live time) $\frac{N^\prime}{N}$ は $\frac{1}{1+N\tau}$ 。
- また、 $\frac{N^\prime}{N} = 1-N^\prime \tau$ からも導出できる。アクセプトされるイベントのレート × dead time = $N^\prime\tau$ が死んでいる割合。
- ちなみに、 $\frac{N^\prime}{N} = 1-N^\prime \tau$ を変形すると、 $\frac{1}{N^\prime} - \frac{1}{N}= \tau$ となる。

Detector の accepted event rate のプロット

デッドタイムが 0.1, 1, 10, 100 μs の場合の detector の accepted event rate : $N^\prime = Ne^{-N\tau}$ をプロットすると、以下のようになる。 $N = \frac{1}{\tau}$ で最大値 $N^\prime = \frac{N}{e}$ となる。
プロットは accepted_det.kumac を用いて行った。

DAQ の accepted event rate のプロット

デッドタイムが 100, 200, 500, 1000 μs の場合の DAQ の accepted event rate (gated rate) : $N^\prime = \frac{N}{1+N\tau}$ をプロットすると、以下のようになる。
プロットは accepted_daq.kumac を用いて行った。

Detector の live time のプロット

線は $\frac{N^\prime}{N} = e^{-N\tau}$ の計算値をプロットしたもので、点はシミュレーション結果をプロットしたもの。横軸がイベントレート N で縦軸がライブタイム N'/N。デッドタイムが 0.1, 1, 10, 100 μs の場合を計算した。シミュレーションでは、指数関数の分布を持つ乱数を発生させ、live time を求めた。
プロットは livetime_det.kumac を用いて行った。

DAQ の live time のプロット

線は $\frac{N^\prime}{N} = \frac{1}{1+N\tau}$ の計算値をプロットしたもので、点はシミュレーション結果をプロットしたもの。横軸がイベントレート N で縦軸がライブタイム N'/N。デッドタイムが 100, 200, 300, 500, 700, 1000 μs の場合を計算した。シミュレーションでは、指数関数の分布を持つ乱数を発生させ、live time を求めた。
プロットは livetime_daq_emu.kumac, livetime_daq.kumac を用いて行った。

ランダムイベント

ランダムイベント間の時間間隔の確率密度分布 : $P(t) = Re^{-Rt}$
- R : イベントレート (count/sec)
- t : ランダムイベント間の時間間隔 (sec)
  - 導出
  - ある時間 T の間に発生するランダムイベントの数は RT。
  - RT イベントのうち、ある一つのイベントが時刻 t 秒の Δt 秒間に発生し、かつ他のイベント（RT-1 個）がそれ以降の時間 T-t に発生するという確率は、
    - $\frac{\Delta t}{T} \left(\frac{T-t}{T}\right)^{RT-1}$ .
  - スタート (t = 0) から t 秒間イベントが発生せず、任意のイベントが t 秒後の Δt 秒間に発生する確率は、上式を RT 倍して、
    - $RT\frac{\Delta t}{T} \left(\frac{T-t}{T}\right)^{RT-1} = R\Delta t \left(1-\frac{t}{T}\right)^{RT-1}$ .
  - T を無限大とすると、ランダムイベント間の時間が t 秒のときの Δt 秒間に発生する確率 P(t)Δt ( = 最初のイベントが時刻 t 秒から t + Δt 秒の Δt 秒間に発生する確率 P(t)Δt) に等しいので、
    - $P(t)\Delta t = \lim_{T \to \infty} R\Delta t \left(1-\frac{t}{T}\right)^{RT-1}$
    - $\Leftrightarrow P(t)= R \left(\lim_{T \to \infty}\left(1+\frac{-t}{T}\right)^T\right)^R\lim_{T \to \infty} \left(1-\frac{t}{T}\right)^{-1}$ .
  - $e^x= \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ より、
    - $P(t) = Re^{-Rt}$ .

確率変数の変換

確率変数の変換式 t = f(x) を求める。ここで、
- x は一様分布に従う
- t は確率密度分布 P(t) に従う
とする。
導出
t から t + Δt の間の確率は変換前の x から x + Δx の間の確率に等しいので、
- $\int_{t}^{t+\Delta t}P(t)dt=f^{-1}(t+\Delta t)-f^{-1} (t)$
$\int P(t)dt = \tilde{P}(t)$ とすると、
- $\tilde{P}(t+\Delta t)-\tilde{P}(t)=f^{-1}(t+\Delta t)-f^{-1} (t)$
より、
- $f(x) = \tilde{P}^{-1}(x)$

sunday

Gamma exp. - RUN1061

Host	Dead time	TRG-IN delay	driver
ccnet01	168 us	40 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28
ccnet02	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday
ccnet03	136 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday
ccnet04	164 us	51 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday
ccnet05	164 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all
ccnet06	155 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all
ccnet07	116 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all
ccnet08	120 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter
ggdaq03	55 - 120 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10
vmi03	45 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday
total	168 us ?	-

Ungated: 876 cps, Gated: 755 cps, Live time: 86.2 % (cal: 87.2 %)

Gamma exp. - RUN1121

Host	Dead time	TRG-IN delay	driver
ccnet01	168 us	40 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28
ccnet02	137 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday
ccnet03	137 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday
ccnet04	165 us	51 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday
ccnet05	166 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all
ccnet06	156 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all
ccnet07	117 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all
ccnet08	120 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter
ggdaq03	55 - 62 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10
vmi03	35 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday
total	169 us	-

Ungated: 727 cps, Gated: 644 cps, Live time: 88.6 % (cal: 89.1 %)

Gamma exp. - RUN1156 2010/12/16 5:29

Host	Dead time	TRG-IN delay	driver
ccnet01	168 us	40 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28
ccnet02	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday
ccnet03	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday
ccnet04	164 us	51 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday
ccnet05	164 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all
ccnet06	155 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all
ccnet07	116 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all
ccnet08	129 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter
ggdaq03	53 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10
vmi03	32 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday
total	168 us	-

Ungated: 72.0 cps, Gated: 71.2 cps, Live time: 98.9 % (cal: 98.8 %)

Gamma exp. - RUN1184 2010/12/17 ~4:20

ID	Hostname & Nickname	Dead time	TRG-IN delay	driver (rtdrv)
21	ccnet01	168 us	40 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28
22	ccnet02	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday
23	ccnet03	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday
24	ccnet04	162 us	50 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday
25	ccnet05	164 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all
26	ccnet06	155 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all
27	ccnet07	116 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all
28	ccnet08	120 us	? us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter
33	ssm	-	-	?:/usr/babirl/babiscr/babiscr
37	vmi03	33-46 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday
47	ggdaq03	53-80 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/ggdaq03/nov10
-	total	168 us	-

Ungated: 388 cps, Gated: 362 cps, Live time: 93.5 % (cal: 93.9 %)
ssm driver : /usr/babirl/babiscr/babiscr

After end of run 2010/12/17 ~10:27

ID	Hostname & Nickname	Dead time	TRG-IN delay	driver (rtdrv)
21	ccnet01	168 us	40 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet01/sunday/NP0702RIBF28
22	ccnet02	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet02/sunday
23	ccnet03	135 us	30 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet03/sunday
24	ccnet04	163 us	50 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet04/sunday
25	ccnet05	164 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet05/sunday/all
26	ccnet06	155 us	25 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet06/sunday/all
27	ccnet07	116 us	49 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet07/sunday/all
28	ccnet08	120 us	56 us	g01:/home/daq/daqconfig/ccnet08/sunday/tke_counter
33	ssm	-	-	?:/usr/babirl/babiscr/babiscr
37	vmi03	26 us	-	g01:/home/daq/daqconfig/vmi03/sunday
-	total	168 us	-

Clock trigger
Ungated: 1.00 kcps, Gated: 1.00 kcps, Live time: 100 %
ssm driver : /usr/babirl/babiscr/babiscr
IC7 gate: 18.5 us
ID11 gate: 6.5 us
LaBr3 gate: P7188@F11 2.9 us

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Live time とアクセプトされるイベント数(の割合)の関係

Detector と DAQ の dead time

Detector の live time

DAQ の live time

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DAQ の live time のプロット

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