共鳴状態/計算ノート(バックアップ)

間違いを見つけた。修正はまたこんど
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr \end{eqnarray*}$
を求める。
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr &=& \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr\\ &=& \frac{\pi\sqrt{kk'}}{2}\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]^2\frac{\delta(k-k')}{\sqrt{kk'}}\\ &=& \frac{\pi}{2}\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]^2\delta(k-k') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr = \frac{\pi}{2}(a-ib)^2\delta(k-k') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k &=&\frac{\sqrt{2\mu\epsilon}}{\hbar}\\ k' &=&\frac{\sqrt{2\mu\epsilon'}}{\hbar}\\ \delta(k-k') &=&\delta\left(\frac{\sqrt{2\mu\epsilon}}{\hbar}-\frac{\sqrt{2\mu\epsilon'}}{\hbar}\right)\\ &=&\frac{\hbar}{\sqrt{2\mu}}\delta\left(\sqrt{\varepsilon}-\sqrt{\varepsilon'}\right)\\ &=&\frac{\hbar}{\sqrt{2\mu}}\cdot2\sqrt{\varepsilon}\delta\left(\varepsilon-\varepsilon'\right)\\ &=&\frac{\hbar^2k}{\mu}\delta\left(\varepsilon-\varepsilon'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr =\frac{\hbar^2\pi k}{2\mu}(a-ib)^2 \delta\left(\varepsilon-\varepsilon'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right]dr =\delta\left(\varepsilon-\varepsilon'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\hbar^2\pi k}{2\mu}(a-ib)^2=1\\ (a-ib)^2=\frac{2\mu}{\hbar^2\pi k}\\ \end{eqnarray*}$
DLMF: Spherical Bessel Functions
DLMF: Bessel Functions, connection formulas
$\begin{eqnarray*} n_\ell(z) &=& (-1)^{\ell+1} j_{-\ell-1}(z)\\ a\,j_\ell(z)+b\,n_\ell(z)\\ &=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\ell+1/2}(z)\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]\\ akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr) &=& \sqrt{\frac{\pi}{2kr}}krJ_{\ell+1/2}(kr)\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]\\ &=& \sqrt{\frac{\pi kr}{2}}J_{\ell+1/2}(kr)\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]\\ \left[akr\,j_\ell(kr)+bkr\,n_\ell(kr)\right]\left[ak'r\,j_\ell(k'r)+bk'r\,n_\ell(k'r)\right] &=& \sqrt{\frac{\pi kr}{2}}J_{\ell+1/2}(kr)\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right] \sqrt{\frac{\pi k'r}{2}}J_{\ell+1/2}(k'r)\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]\\ &=& \frac{\pi\sqrt{kk'}}{2}\left[a+(-1)^{2\ell+3/2}b\right]^2 rJ_{\ell+1/2}(kr)J_{\ell+1/2}(k'r) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty rJ_{\ell+1/2}(kr)J_{\ell+1/2}(k'r)dr=\frac{\delta(k-k')}{k}=\frac{\delta(k-k')}{k'}=\frac{\delta(k-k')}{\sqrt{kk'}} \end{eqnarray*}$

計算メモ

Spherical Neumann function と Spherical Bessel function と r² の積の積分
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr = -\frac{1}{(k^2-k'^2)\sqrt{kk'}}\left(\frac{k}{k'}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
を求める。
$\begin{eqnarray*} j_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\ell+1/2}(z)\\ n_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}N_{\ell+1/2}(z) \end{eqnarray*}$
を用いると
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr &=& \int_0^\infty r^2 \sqrt{\frac{\pi}{2kr}}J_{\ell+1/2}(kr) \sqrt{\frac{\pi}{2k'r}}N_{\ell+1/2}(k'r)dr\\ &=& \frac{\pi}{2\sqrt{kk'}}\int_0^\infty r J_{\ell+1/2}(kr) N_{\ell+1/2}(k'r)dr\\ \end{eqnarray*}$
となる。ここで下記の節より
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)dz = -\frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty r^2 j_\ell(kr)n_\ell(k'r)dr = -\frac{1}{(k^2-k'^2)\sqrt{kk'}}\left(\frac{k}{k'}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
となる。
Neumann function と Bessel function と z の積の積分
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)dz = -\frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より
$\begin{eqnarray*} \int z J_{\nu}(az) N_{\nu}(bz)dz = \frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\nu+1}(az) N_{\nu}(bz)- b J_{\nu}(az) N_{\nu+1}(bz) \right) \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty z J_{\ell+1/2}(ax) N_{\ell+1/2}(bz)dz &=& \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]_0^\infty\\ &=& \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\ & & - \lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right] \end{eqnarray*}$
となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より $z \to \infty$ に対して
$\begin{eqnarray*} J_{\nu}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\\ N_{\nu}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} J_{\ell+3/2}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{(\ell+3/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\pi\right)\\ &=& -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\ J_{\ell+1/2}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{(\ell+1/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\\ &=& -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\ N_{\ell+3/2}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{(\ell+3/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\pi\right)\\ &=& -\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\ N_{\ell+1/2}(z) &\sim& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{(\ell+1/2)\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\ell\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\\ &=& \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\ell\pi}{2}\right)\\ \end{eqnarray*}$
である。以上を用いると、
$\begin{eqnarray*} && \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\ &&= \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(-a\sqrt{\frac{2}{\pi az}}\cos\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sqrt{\frac{2}{\pi bz}}\cos\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) - b\sqrt{\frac{2}{\pi az}}\sin\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sqrt{\frac{2}{\pi bz}}\sin\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) \right)\right]\\ &&= -\frac{2}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[a\cos\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\cos\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) + b\sin\left(az-\frac{\ell\pi}{2}\right)\sin\left(bz-\frac{\ell\pi}{2}\right) \right]\\ && = -\frac{2}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{a}{2}\left(\cos\left((a-b)z\right) + \cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right) + \frac{b}{2}\left(\cos\left((a-b)z\right) - \cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right) \right]\\ && = -\frac{1}{\pi\sqrt{ab}(a^2-b^2)}\lim_{z \to \infty} \left[ (a+b)\cos\left((a-b)z\right) + (a-b)\cos\left((a+b)z-\ell\pi\right) \right]\\ && = -\frac{1}{\pi\sqrt{ab}}\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{\cos\left((a-b)z\right)}{a-b} + \frac{\cos\left((a+b)z-\ell\pi\right)}{a+b} \right] \end{eqnarray*}$
となる。ここで
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \frac{\sin(ax)}{\pi x} = \delta(x) \end{eqnarray*}$
となることを思い出せば
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \frac{\cos(ax)}{\pi x} = 0 \end{eqnarray*}$
になるはず。( $\lim_{a \to \infty} \frac{\sin(ax)}{x}$ も $\lim_{a \to \infty} \frac{\cos(ax)}{x}$ も各 $x\ (\ne 0)$ において 0 に収束しないが、微小区間を考えると、その中で無限回振動しているので平均して 0 になる。すなわち弱収束している？)
よって
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right] = 0 \end{eqnarray*}$
また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より $z \to 0$ に対して
$\begin{eqnarray*} J_{\nu}(z) &\sim& \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{1}{2}z\right)^\nu\\ N_{\nu}(z) &\sim& -\frac{1}{\pi}\Gamma(\nu)\left(\frac{1}{2}z\right)^{-\nu} \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} &&\lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(a J_{\ell+3/2}(az) N_{\ell+1/2}(bz)- b J_{\ell+1/2}(az) N_{\ell+3/2}(bz) \right)\right]\\ &&= \lim_{z \to 0} \left[\frac{z}{a^2-b^2}\left(-a \frac{1}{\Gamma(\ell+5/2)}\left(\frac{1}{2}az\right)^{\ell+3/2} \frac{1}{\pi}\Gamma(\ell+1/2)\left(\frac{1}{2}bz\right)^{-\ell-1/2} + b \frac{1}{\Gamma(\ell+3/2)}\left(\frac{1}{2}az\right)^{\ell+1/2} \frac{1}{\pi}\Gamma(\ell+3/2)\left(\frac{1}{2}bz\right)^{-\ell-3/2} \right)\right]\\ &&= \frac{1}{\pi(a^2-b^2)}\lim_{z \to 0} \left[-az \frac{\Gamma(\ell+1/2)}{\Gamma(\ell+5/2)}\left(\frac{1}{2}z\right)\frac{a^{\ell+3/2}}{b^{\ell+1/2}} + z\left(\frac{1}{2}z\right)^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}\right]\\ &&= \frac{1}{\pi(a^2-b^2)}\lim_{z \to 0} \left[-\frac{z^2}{2} \frac{\Gamma(\ell+1/2)}{\Gamma(\ell+5/2)}\frac{a^{\ell+5/2}}{b^{\ell+1/2}} + 2\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2}\right]\\ &&= \frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
となる。以上より
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty r J_{\ell+1/2}(kr) N_{\ell+1/2}(k'r)dr = \frac{2}{\pi(a^2-b^2)}\left(\frac{a}{b}\right)^{\ell+1/2} \end{eqnarray*}$
となる。
Spherical Neumann function と Spherical Bessel function の変換
http://dlmf.nist.gov/10.2.E3 より、
$\begin{eqnarray*} N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi)}. \end{eqnarray*}$
ここで $\nu = \ell+1/2, \ell : {\rm integer}$ に対して、
$\begin{eqnarray*} N_{\ell+1/2}(z) &=& \frac{J_{\ell+1/2}(z)\cos((\ell+1/2)\pi)-J_{-(\ell+1/2)}(z)}{\sin((\ell+1/2)\pi)} \\ &=& \frac{-J_{-(\ell+1/2)}(z)}{\sin((\ell+1/2)\pi)} \\ &=& (-1)^{\ell+1}J_{-(\ell+1/2)}(z) \\ &=& (-1)^{\ell+1}J_{(-\ell-1)+1/2}(z) \end{eqnarray*}$
となる。ここで
$\begin{eqnarray*} j_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\ell+1/2}(z)\\ n_\ell(z)&=& \sqrt{\frac{\pi}{2z}}N_{\ell+1/2}(z) \end{eqnarray*}$
を用いれば
$\begin{eqnarray*} n_\ell(z) &=& (-1)^{\ell+1} j_{-\ell-1}(z) \end{eqnarray*}$
となる。

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