共鳴状態/計算ノート
以下では浜本さんの論文 PRC81(2010)021304(R) の連続状態の波動関数
dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
の規格化因子を求めようとした。でも下記の計算はどこか間違っている気がする。一応計算過程をメモしておく。
計算
- 連続状態の波動関数を規格化する式
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から
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を求める。ただしdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
である(参考: Delta Function)。 下記の計算メモより
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- であるから
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を満たす
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を求めればよい。でもそんな解は存在しない気がする。右辺の第二項が 0 であれば上式はdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
となる。これを満たす
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はdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
である。よって
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はdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- と書ける(符号は浜本さんの論文に合わせた)。これらを使えば、規格化された波動関数は
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- となる。
計算メモ
Spherical Bessel 関数と spherical Neumann 関数の和の積分
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を求める。http://dlmf.nist.gov/1.17.E14 と下記の計算メモより
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であるから http://dlmf.nist.gov/1.2.E11 を使うと
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- となる。
Spherical Neumann function と Spherical Bessel function と r2 の積の積分
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- を求める。
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- を用いると
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- となる。ここで下記の節より
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- であるから
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- となる。
Neumann function と Bessel function と z の積の積分
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を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より
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- であるから
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となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より
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に対してdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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- となる。ここで
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- となることを思い出せば
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になるはず。(
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もdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
も各dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
において 0 に収束しないが、微小区間を考えると、その中で無限回振動しているので平均して 0 になる。すなわち弱収束している?)- よって
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また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より
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に対してdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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- となる。以上より
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- となる。
Neumann function の積と z の積の積分
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を求める。http://dlmf.nist.gov/10.22.E4 より
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- であるから
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となる。ここで http://dlmf.nist.gov/10.7.ii より
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に対してdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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- となる。ここで
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- であるから
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また http://dlmf.nist.gov/10.7.i より
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に対してdvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- であるから
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- となる。以上より
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Spherical Neumann function と Spherical Bessel function の変換
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ここで
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に対して、dvipng error! exitcode was 2 (signal 0), transscript follows:
- となる。ここで
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- を用いれば
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- となる。